Mathematica简单的三维随机游走及实现

三维随机游走：每一步在空间中随机选一个方向，位置累加，轨迹在三维里扭来扭去。本文用 Mathematica 把几种直观画法写清楚——立方体堆路径、格点管道、连续方向、动画与统计检验。文中插图均由配套脚本 wolfram/random-walk-3d/random-walk-3d.wls（SeedRandom[20130101]）导出，可本地复现。

若关心随机游走在随机过程、强化学习等方向的理论背景，见姊妹篇随机游走的理论与跨学科应用。

模型约定

离散三维游走可写成

S_0 = 0,    S_{k+1} = S_k + X_{k+1}

其中步长 X_i 独立同分布，取值于某个有限方向集（六面邻接、八顶点对角等）。Mathematica 里对应的就是：先定 dirs，再 RandomChoice / Accumulate / FoldList，最后交给 Graphics3D。

方法一：立方体叠加

思路：准备单位立方体 Cuboid[]，每一步沿六面方向之一平移一格（±e_x, ±e_y, ±e_z），用 FoldList 记下所有变换后的立方体，叠在一起就是游走。

六方向可写成单位矩阵及其相反：

dirs = Join[IdentityMatrix[3], -IdentityMatrix[3]];
(* {1,0,0}, {0,1,0}, {0,0,1}, {-1,0,0}, {0,-1,0}, {0,0,-1} *)

用 FoldList 把平移作用在图形上。GeometricTransformation 配合 TranslationTransform，每步把上一步的立方体再挪一格：

n = 60;
cuboids = FoldList[
  GeometricTransformation[#1, TranslationTransform[#2]] &,
  Cuboid[],
  RandomChoice[dirs, n]
];
Graphics3D[
  {Opacity[0.85], EdgeForm[GrayLevel[0.3]], cuboids},
  Boxed -> True, BoxRatios -> Automatic
]

立方体 FoldList 叠加的三维随机游走 — 方法一：60 步六面游走，立方体逐格平移叠加。

若更想先拿坐标再画，也可以先累加位移，再批量套变换——语义一样，往往更清晰：

positions = FoldList[Plus, {0, 0, 0}, RandomChoice[dirs, n]];
Graphics3D[
  GeometricTransformation[Cuboid[], TranslationTransform /@ positions]
]

先累加坐标再批量变换立方体 — 同一模型：先 `FoldList[Plus, …]` 得坐标，再批量 `TranslationTransform`。

体块挨着堆，路径像一条弯折的“积木蛇”，体感很强，适合步数不太多时展示。步数一大，图元过多会变慢，可改用方法二。

着色：按步序渐变

给每个立方体上色，能看出“时间从哪走到哪”：

positions = FoldList[Plus, {0, 0, 0}, RandomChoice[dirs, 80]];
cols = Blend[{Blue, Cyan, Yellow, Orange}, #] & /@ Rescale[Range[0, Length[positions] - 1]];
Graphics3D[
  MapThread[
    {#1, EdgeForm[GrayLevel[0.35]],
     GeometricTransformation[Cuboid[], TranslationTransform[#2]]} &,
    {cols, positions}
  ],
  Boxed -> False, Lighting -> "Neutral"
]

方法二：格点游走 + Tube

只关心轨迹点，不堆实体。方向取立方体八个顶点方向 Tuples[{-1, 1}, 3]，即对角线上的八个格点向量；用 Accumulate 累加随机步长，再用 Tube 画成管道。

dirs = Tuples[{-1, 1}, 3];
(* 八个方向：{±1,±1,±1} 的全部组合 *)

data = Accumulate[RandomChoice[dirs, 200]];
Graphics3D[
  {Orange, Tube[data, 0.35]},
  Boxed -> False, ViewPoint -> {1.3, -2.4, 2}
]

八顶点方向 Tube 轨迹 — 八顶点方向、200 步；`Tube` 比折线更有体积感。

若希望从原点出发，把原点接到步长序列前面再累加：

data = Accumulate[Prepend[RandomChoice[dirs, 200], {0, 0, 0}]];
Graphics3D[Tube[data, 0.3]]

六面邻接格点（与方法一同方向）同样写法，只换 dirs：

dirs = Join[IdentityMatrix[3], -IdentityMatrix[3]];
data = Accumulate[Prepend[RandomChoice[dirs, 300], {0, 0, 0}]];
Graphics3D[{CapForm["Butt"], Tube[data, 0.25]}]

Tube 比 Line 更有体积感；步数上千时仍轻巧，适合长轨迹。

起终点与自交感

dirs = Join[IdentityMatrix[3], -IdentityMatrix[3]];
path = Accumulate[Prepend[RandomChoice[dirs, 400], {0, 0, 0}]];
Graphics3D[{
  {GrayLevel[0.55], Tube[path, 0.2]},
  {Green, Sphere[First[path], 0.55]},
  {Red, Sphere[Last[path], 0.55]}
}, Boxed -> False]

标出起终点的 Tube 轨迹 — 绿球起点、红球终点；三维瞬逝游走往往不会贴回原点。

方法三：连续方向（球面随机步）

离散格点之外，可在单位球上均匀取方向，得到更接近布朗运动直觉的折线：

step[] := Normalize @ RandomReal[NormalDistribution[0, 1], 3];
path = Accumulate[Table[step[], 500]];
Graphics3D[
  {ColorData["Rainbow"][0.15], Tube[path, 0.08]},
  Boxed -> False, ViewPoint -> {2, -2, 1.2}
]

用三维标准正态再归一化，方向在球面上近似均匀（高斯向量的旋转对称性）。若要固定步长 δ，写成 δ * step[] 即可。

方法四：有偏游走与受限区域

现实模型里步长往往不对称，或被边界挡住。下面给一个向 +z 略偏、并限制在盒子内的版本：

dirs = Join[IdentityMatrix[3], -IdentityMatrix[3]];
weights = {1, 1, 1.4, 1, 1, 0.7}; (* +z 更易被选中 *)
box = Cuboid[{-8, -8, -8}, {8, 8, 8}];

insideQ[p_] := And @@ Thread[-8 <= p <= 8];

biasedStep[p_] := Module[{cand},
  cand = p + RandomChoice[weights -> dirs];
  If[insideQ[cand], cand, p]
];

path = NestList[biasedStep, {0, 0, 0}, 600];
Graphics3D[{
  {Opacity[0.08], EdgeForm[None], box},
  {Orange, Tube[path, 0.22]},
  {Red, Sphere[Last[path], 0.4]}
}, Boxed -> False]

盒子内有偏随机游走 — 向 `+z` 略偏、撞墙停留；轨迹整体上浮并被盒子约束。

撞墙时停在原地（反射/吸收可再改）；权重一调，轨迹就会整体“往上漂”。

动画：一步步长出来

dirs = Join[IdentityMatrix[3], -IdentityMatrix[3]];
path = Accumulate[Prepend[RandomChoice[dirs, 120], {0, 0, 0}]];

Animate[
  Graphics3D[
    {CapForm["Round"], Tube[Take[path, k], 0.28],
     Red, Sphere[path[[k]], 0.45]},
    PlotRange -> (MinMax /@ Transpose[path]),
    Boxed -> False, SphericalRegion -> True
  ],
  {k, 2, Length[path], 1},
  AnimationRate -> 12
]

笔记本里用 Animate；脚本侧用帧序列导出 GIF（无前端亦可复现）：

统计：均方位移

对称格点游走在大步数下，均方位移应近似线性增长：⟨|S_n|²⟩ ∝ n。用多条轨迹验证：

dirs = Join[IdentityMatrix[3], -IdentityMatrix[3]];
n = 200; trials = 400;

msd = Mean @ Table[
  With[{path = Accumulate[RandomChoice[dirs, n]]},
    Total /@ (path^2)  (* |S_k|² 随 k *)
  ],
  {trials}
];

ListLinePlot[msd,
  AxesLabel -> {"n", "⟨r²⟩"},
  PlotLabel -> "3D 格点游走：均方位移",
  PlotTheme -> "Detailed"
]

三维格点游走均方位移曲线 — 400 条轨迹平均后的 ⟨r²⟩；接近直线即符合扩散尺度 √n。

单条轨迹的末端距离分布也可看一眼：

ends = Table[
  Norm @ Total @ RandomChoice[dirs, 200],
  {2000}
];
Histogram[ends, 40, "PDF", AxesLabel -> {"|S_n|", "密度"}]

一点对比

	立方体叠加	格点 + Tube	球面连续步
数据	变换后的 `Cuboid`	坐标列表	坐标列表
方向	常取六面	六面或八顶点	单位球连续
观感	积木感、占空间	细管轨迹、步数可更大	更“布朗”
核心函数	`FoldList` + `TranslationTransform`	`Accumulate` + `Tube`	`Normalize` + `Accumulate`
适用	短路径演示	长轨迹 / 动画	连续模型直觉

小封装

日常试错时可以收成一个函数：

RandomWalk3D[n_, opts : OptionsPattern[Graphics3D]] := Module[
  {dirs = Join[IdentityMatrix[3], -IdentityMatrix[3]], path},
  path = Accumulate[Prepend[RandomChoice[dirs, n], {0., 0., 0.}]];
  Graphics3D[
    {ColorData["SolarColors"][0.55], CapForm["Round"], Tube[path, 0.25]},
    Boxed -> False, SphericalRegion -> True, opts
  ]
];

RandomWalk3D[300, ViewPoint -> {1.4, -2.2, 1.5}]

RandomWalk3D 封装函数输出 — `RandomWalk3D[300]` 一键出图。

方向集、权重、边界、着色都可以做成选项，按需要再拆。完整脚本与输出目录见 wolfram/random-walk-3d。

小结

两种经典写法——FoldList 堆立方体、与 Accumulate + Tube——已经够把三维随机游走在笔记本里画出来。再加上连续步、有偏/受限、动画和均方位移，就能从“好看”走到“能检验模型”。改方向集、步数和样式做实验时，优先用坐标列表那条路，扩展成本最低。

这篇文章的渊源

方法一并非凭空发明。Wolfram Language 文档 TranslationTransform 里就有一条示例，标题正是 “A random translation walk”：用 FoldList 把 GeometricTransformation[..., TranslationTransform[#2]] 反复作用在 Cuboid[] 上，方向由 RandomChoice 给出。本文 2013 年记下的，就是把这条文档套路拆开讲清楚——六面方向怎么写、先累加坐标再批量变换为何更清晰——再补上 Tube / Accumulate 的格点画法，以及后来加上的连续步、有偏与统计检验。可以说：文档给了“一行能跑的种子”，这篇是把它展开成可改、可验的笔记。

Fold 与 FoldList 展开

游走的数学是 S_k+1 = f(S_k, X_k+1)。Mathematica 里：

Fold[f, x, {a, b, c}]
(* → f[f[f[x, a], b], c]  只要终值 *)

FoldList[f, x, {a, b, c}]
(* → {x, f[x,a], f[f[x,a],b], f[f[f[x,a],b],c]}  全程快照 *)

方法一要的是整条轨迹上的图形，所以用 FoldList；若只要终点立方体，改 Fold 即可。FoldList[Plus, {0,0,0}, steps] 与 Accumulate[Prepend[steps, {0,0,0}]] 在加法情形下等价——Accumulate 是“二元运算固定为 Plus”的特化；一旦 f 变成几何变换合成，就必须回到一般的 Fold / FoldList。

(* 与本文方法一同一骨架 *)
FoldList[
  GeometricTransformation[#1, TranslationTransform[#2]] &,
  Cuboid[],
  RandomChoice[dirs, n]
]

计算机科学与函数式内涵

在函数式编程里，这叫 fold（亦称 reduce、inject）：用一个二元运算把列表“折”进累加器。它是列表上的catamorphism——结构性递归的标准形态：对空列表给初值，对 x :: xs 做 f(x, fold(xs))（右折）或对称的左折。随机游走、前缀和、状态机步进、解析器组合子，本质都是“状态 × 输入 → 新状态”的左折；FoldList 则多露出中间状态，对应 scan / prefix 一族，正好服务可视化与调试。

相对命令式 for 循环就地改坐标，fold 把更新规则收成参数 f：换方向集、换有偏权重、换边界策略，往往只改 f 或列表，不改控制流。这也是本文方法一能从“平移立方体”平滑扩到“任意几何变换序列”的原因。

其它语言里的近亲

语言 / 库只要终值（≈ Fold）要中间结果（≈ FoldList）

Haskell foldl / foldr scanl / scanr

OCaml / F# List.fold_left 自写 scan，或 Seq.scan（F#）

Scala foldLeft scanLeft

Python functools.reduce 手写循环，或 itertools.accumulate（限加法等）

JavaScript array.reduce 自写；无内置 scan

Rust Iterator::fold scan（闭包里可变状态）

C++ (STL) std::accumulate std::partial_sum（偏数值）

NumPy — numpy.cumsum（加法特化，≈ Accumulate）

格点游走在别处常写成 cumsum(random_steps)；立方体叠加那种“f 是几何变换”的版本，在多数语言里没有现成的 GeometricTransformation，但 fold/scan 骨架一样——累加器换成变换矩阵或位姿即可。读文档示例、用 FoldList 画积木蛇、再对照上表换语言重写一遍，是把这篇笔记从 Mathematica 语法迁到通用计算思维的最短路径。

语言 / 库	只要终值（≈ Fold）	要中间结果（≈ FoldList）
Haskell	`foldl` / `foldr`	`scanl` / `scanr`
OCaml / F#	`List.fold_left`	自写 scan，或 Seq.scan（F#）
Scala	`foldLeft`	`scanLeft`
Python	`functools.reduce`	手写循环，或 `itertools.accumulate`（限加法等）
JavaScript	`array.reduce`	自写；无内置 scan
Rust	`Iterator::fold`	`scan`（闭包里可变状态）
C++ (STL)	`std::accumulate`	`std::partial_sum`（偏数值）
NumPy	—	`numpy.cumsum`（加法特化，≈ Accumulate）